Как начиналась геометрия

Алан-э-Дейл       12.01.2023 г.

Евклид.

В III в. до н. э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала». В этой книге Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет всюду преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида.
Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. Лишь в XIX в. благодаря в первую очередь трудам выдающегося русского математика Н. И. Лобачевского было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной.
Часто идеи, обогащающие математику новыми понятиями и методами, приходят из физики, химии и других разделов естествознания. Типичным примером может служить понятие вектора пришедшее в математику из механики. В отношении неевклидовых геометрий обстоит как раз наоборот: созданные внутри математики эти новые геометрические понятия положили пути создания современной физики.

Много нового появилось со времен Евклида и в самой евклидовой геометрии. Еще в XVII в. благодаря работам французского математика и философа Р. Декарта возник метод координат, ознаменовавший собой революционную перестройку всей математики, и в частности геометрии. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так в рамках евклидовой геометрии появилась ее новая ветвь — аналитическая геометрия.
В работах математиков XIX в. У. Гамильтона, Г. Грассмана и других были введены векторы, которые ранее в трудах Архимеда, Г. Галилея и других имели лишь механический смысл, а теперь приобрели права в математике.
Другим важным обогащением, которым геометрия также обязана XIX в., стало создание теории геометрических преобразований, и в частности движений (перемещений). У Евклида движения неявно присутствовали; например, когда он говорил: «Наложим один треугольник на другой таким-то образом», то речь шла в действительности о применении движения, перемещения треугольника.

Свойства треугольников

Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.

Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника. Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет

Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок

Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.

Неравенство треугольника

Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

Еще одно свойство верное для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота. Или по-другому: сумма углов треугольника — два прямых угла.

Мы знаем, что две геометрические фигуры считают равными, если их можно совместить наложением. Это справедливо и для треугольников. Равные фигуры имеют равные размеры и формы. Значит, если два треугольника равны — элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так: ΔABC = ΔA1B1C1.

Есть даже специальные теоремы про равенство треугольников.

Первый признак равенства треугольников звучит так:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

ΔABC = ΔA1B1C1, так как AC = A1C1, AB = A1B1 и ∠A = ∠A1 (∠A лежит между сторонами AC и AB, а ∠A1 между A1C1 и A1B1).

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ΔABC = ΔA1B1C1, так как AB = A1B1,  ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ΔABC = ΔA1B1C1, так как AC = A1C1, AB = A1B1 и BC = B1C1.

Из теоремы следует, что треугольник — жесткая фигура, то есть фигура, которую невозможно деформировать.

Гладкость

Еще одним свойством, характеризующим кривые, является гладкость. Хотя смысл слова интуитивно понятен, задать ее математически не совсем элементарно. Мы хотим, чтобы у кривой не было углов, заострений, клювов и т. п.

Хороший пример гладкой кривой — синусоида:

А вот пример негладкой кривой:

Чтобы определить это свойство, разберемся, что оно означает геометрически. Для начала вспомним концепцию касательной. Обычно в школе рассматривают в первую очередь касательные окружностей и определяют их как прямые, имеющие одну общую точку с окружностью. В случае произвольной кривой рассматривается касательная в локальном смысле — пересечения кривой вне некоторой окрестности точки касания не рассматриваются как проблема.

В курсе начал анализа доказывается, что такая касательная неразрывно связана с производной функции, график которой образует нашу кривую: более конкретно — тангенс угла наклона касательной (по отношению к положительному направлению оси Ox) равен значению производной функции в точке касания.

Эта связь позволяет нам четко определить гладкость функции. Чтобы функция называлась гладкой (и, следовательно, ее график был гладкой кривой), необходимо, чтобы, во-первых, эта функция была непрерывной, во-вторых, ее производная должна существовать и быть непрерывной.

Может быть интересно

Кажется, что гладкость — довольно естественное требование к кривой. Это ощущение привело к тому, что в 1806 году Андре-Мари Ампер выдвинул гипотезу о том, что любая функция всюду, за исключением отдельных, «исключительных и изолированных» точек, имеет производную в этих точках.

Позднее гипотеза была разрушена. Первый контрпример следует атрибутировать, по-видимому, Бернхарду Риману. Более простой и широко известный контрпример был построен Ван дер Варденом позднее, в 1930 году. Но наибольшей известностью пользуется функция Вейерштрасса, выраженная формулой:

здесь a — любое нечетное число кроме единицы, b — число от нуля до единицы, а большая греческая cигма обозначает суммирование. Функция оказывается непрерывной для всех вещественных х, но при ряде условий на a и b очень негладкой:

Геометрия и компьютерная графика

Компьютерная анимация (CGI) преображает сложные природные формы (такие, как лицо) в комплект несложных форм. Так, сложный объект создаётся за счет комбинации несложных объектов и может изменяться в следствии трансформации их геометрии. В базе данной идеи — изучения математиков, например, французско-американского ученого Бенуа Мандельброта, который в 1974 г. продемонстрировал, что естественные формы подчиняются правилам фрактальной размерности (неэвклидова геометрия), а в рамках классической евклидовой геометрии смогут быть измерены только примерно.

Компьютерная графика на основе фракталов Мандельброта

О том как знание математики позволяет заработать на майнинге криптовалюты.

Tags: «Начала» Евклида геометрия история математики

Греция: длина без ширины

Древние греки подошли к вопросу более строго. В «Началах» Евклида возникают определения (впрочем, зачастую носящие скорее описательный характер — на них, например, не ссылаются далее) линии, прямой линии, точки. Выглядят они, мягко говоря, несовременно:

Определение 1.1. Точка — это то, часть чего есть ничто.

Определение 1.2. Линия — это длина без ширины.

Определение 1.3. Концы линий — это точки.

Определение 1.4. Прямая линия лежит равномерно по отношению к точкам на ней. (Или: Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках.)

Первое из этих определений можно при желании трактовать в духе теории множеств, третье, по-видимому, намекает, что линии у нас априори конечные. Второе можно трактовать описательно, что касается четвертого, то мнения сильно расходятся.

Несколько иная, хотя местами и похожая ситуация возникает в труде, традиционно приписываемом Герону, — «Определение понятий геометрии» (но в статье W. R. Knorr, ‘Arithmêtikê stoicheiôsis’: on Diophantus and Hero of Alexandria, Historia Math. 20 (2) (1993), 180–192 приводятся аргументы в пользу принадлежности его Диофанту):

Последнее определение довольно явно отсылает нас к кратчайшему расстоянию между двумя точками.

В наиболее известных трудах древних греков рассматриваются главным образом прямые линии. Хотя в некоторых трудах встречаются и иные известные им линии.

Аполлоний Пергский, один из трех великих геометров Античности (вместе с Евклидом и Архимедом), занимался коническими сечениями. Об их существовании знали и до него, однако именно он дал им названия, закрепившиеся в науке, — эллипс, гипербола, парабола.

Приведем и несколько других примеров, известных грекам.

Циссоида Диокла:

Конхоида Никомеда:

Знаменитая архимедова спираль:

XVII — го века

Рассуждение о методе с Рене Декарта .

Первая страница « Геометрии » Рене Декарта.

XVII — го  века увидел сильное восстановление древних и исламская работ геометрии.

Есть три независимых прорыва, которые очень важны для коллективного подхода к нашему представлению пространственной реальности.

Рождение аналитической геометрии

Создание аналитической геометрии — это работа Декарта и, в меньшей степени, Ферма . Идеи Декарта — это система координат и ортогональная проекция . Эта теория позволяет представить геометрическое пространство как совокупность точек, каждая из которых представлена ​​тремя числами.

Декартово изобретение (1637 г.) представляет собой настоящую революцию в маленьком мире геометрии, поскольку благодаря использованию этих ориентиров эта наука в некотором смысле сводится к вычислениям на наборах из двух или трех чисел. Таким образом, древняя королева математики, которая была геометрией, была взята с престола в пользу науки, в конце концов, совершенно новой: алгебры.

Появление дифференциальных методов

Principia Mathematica — мастерская работа Ньютона, в которой он обновляет геометрическое видение Евклида, вводя дифференциальное исчисление.

Некоторые методы расчета Архимеда предполагали разделение элементов на все более мелкие. Например, чтобы приблизиться к пи, Архимед вычислил периметр многоугольника, описанного окружностью, и периметр вписанного многоугольника. Таким образом, он получил границу числа пи и этим методом нашел приближение 22/7.

В первой половине 17 века ряд западных ученых, таких как Ферма, Паскаль, Грегори , Барроу , Кавальери , хорошо знакомых с рассуждениями Архимеда, начали упрощать его методы.

Примерно в 1670-х годах выдающиеся английские и немецкие ученые Ньютон и Лейбниц наконец объяснили методы расчета, позволяющие использовать бесконечно малые величины. Это открытие — одно из самых важных, когда-либо сделанных в математике

Более того, это спровоцировало между двумя гениями, каждый из которых осознавал важность своего открытия, ссору, имеющую довольно серьезный приоритет … (учитывая явные различия в подходах к этому вопросу, сегодня это считается очень важным

пришел к тому же открытию независимо. На строгом календарном уровне приоритет открытия, по мнению его английских коллег, принадлежит Ньютону (публикация принадлежит Лейбницу).

Эти методы позволяют свести вычисление определенных геометрических характеристик изогнутых фигур, таких как углы между касательными, поверхностями и объемами, к вычислениям так называемых производных и интегралов (см. Статьи « Исчисление , производная и интегрирование (математика)» ). Они возвращают использование линейки и компаса к очень грубым инструментам, позволяя обрабатывать только очень конкретные фигуры.

Первые шаги проективной геометрии

Жирар Дезарг в иллюстрациях А. Боссе.

Еще одним оригинальным вкладом в XVII — го  века, в основном из — за Desargues , и в меньшей степени на Паскале , вдохновлена развитием геометрии работы по изучению конической точки зрения . Основное нововведение состоит во введении бесконечно удаленных точек в рассуждения о геометрии, помимо тех, которые используются для обоснования построений перспективного вида.

Среди обновленных свойств в этом контексте можно упомянуть теорему Дезарга и теорему Паскаля, чье потомство было удостоено Д. Гильберта .

Этот вклад будет идти довольно незаметно и его значение будет раскрыто в в XIX — м  века.

Четырехугольники

Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.

Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.

Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:

  • площадь фигуры
  • периметр фигуры
  • площадь прямоугольника
  • периметр прямоугольника
  • площадь квадрата
  • периметр квадрата
  • параллелограмм
  • прямоугольный параллелепипед.

XVIII — го века

Г. Саккери — Псевда демонстрация V — й аксиома эксгумировано из забвения истории поддерживающего Beltrami , один из основателей современной дифференциальной геометрии.

XVIII — го  век не сравним с прошлым веком , чтобы рассматривать геометрию. Это период перехода и углубления.

Два величайших математиков века, Эйлера и Лагранжа замечательные геодезисты, а также способствовать развитию евклидовой геометрии (например , углы Эйлера , Эйлера линии , окружности Эйлера …).

Тем не менее, основные изменения геометрии в XVIII — го  века, связаны с тем , механики и связаны с дифференциальной геометрией. Это уточнения идей Лейбница и Ньютона. Клеро ( Исследования кривых двойной кривизны — 1732) изучает уравнения кривых в пространстве, которые теперь называются левыми кривыми. В 1760 году Эйлер опубликовал свое « Исследование кривизны поверхностей» , в котором он показал существование двух основных искривлений и продемонстрировал то, что сейчас называется теоремой Эйлера . Уважаемые ученые, такие как Мёзье или Дюпен, также внесли интересный вклад в фундаментальную работу Эйлера по геометрии поверхностей. Выявлены важные понятия длины дуги кривой, соприкасающейся окружности . Дифференциальные выражения кривизны и кручения левой кривой дается Коши в начале XIX — го  века.

Кроме того, Лежандр опубликовал в 1794 году « Элементы геометрии», которые составляют один из последних великих трактатов по евклидовой геометрии . К несчастью для него, этот ученый верит в доказуемость пятой аксиомы Евклида и дает несколько доказательств, которые, конечно, ложны, хотя и обладают замечательным интеллектом … Основы геометрии, в том числе 5- я  аксиома Евклида, продолжают вдохновлять некоторые математики, такие как Ламберт или Саккери .

К концу века Монж создал особую ветвь геометрии, называемую начертательной геометрией , которая была направлена ​​на то, чтобы помочь инженеру в представлении машин. Правила , разработанные Монжем широко используются на протяжении XIX — го  века , и большая часть XX — го . Они составят теоретическую основу практики промышленного дизайна .

После работы XVII — го и XVIII — го  века геометрия Евклида достигла своего наибольшего развития, но знаменитые геометрические проблемы , унаследованных от античности до сих пор не решены, хотя почти ясно для большинства ученых , что они представляют собой невозможные проблемы, к тому , что с 1775 г. Академия наук решает отказать в рассмотрении адресованных ей предложений квадрата круга.

В конце 18 века мы можем все чаще различать две разные геометрии: геометрия Евклида, который рассуждает о фигурах, называется синтетической геометрией . Геометрические рассуждения в духе Декарта о числах и функциях чисел называются аналитической геометрией. Однако нет никаких сомнений в идентичности материалов, даже если методы различны.

XX — го века

В XX — м  веке, традиционное деление математики в арифметике, алгебре, анализу, геометрии и взорвался, так что само определение того , что можно было бы назвать «геометрия работы» в части предмета для обсуждения.

Сегодня, когда используется слово «геометрия», рекомендуется различать, разрешено ли его использование во множественном числе.

Геометрия в том смысле, в котором это слово все еще присутствует в обычном языке, называется евклидовой геометрией, если мы хотим использовать математический язык, который хоть немного поддерживается. Эта часть математики считается по существу завершенной с точки зрения ее общей теории. В этом смысле, вопросы геометрии возможно падение прикладной математики и не также не глубокие исследований , проведенных в XX — го  века. Однако мы должны исключить вопросы, касающиеся основ аксиоматики евклидовой геометрии.

С другой стороны, согласно выводам программы Клейна, слово «геометрия» также широко используется во множественном числе в современной математике. В этом смысле он на самом деле не охватывает конкретную дисциплину, но, с другой стороны, пронизывает очень большую часть всех современных математических теорий.

Аксиоматика геометрии

После открытия особого характера геометрии Евклида переформулировка аксиом геометрии стала предметом целого ряда замечательных работ. Можно, в частности, процитировать работы Д. Гильберта по основам геометрии.

После Гильберта вопрос об аксиомах, которые необходимо сохранить для основания геометрии, был поднят, в частности, Биркгофом с эргодической теорией как водяным знаком и Тарским ( банаховы пространства конечной размерности ).

Множество методов аксиоматизации геометрии Евклида и неопределенность их полной идентичности ( например, парадокс Банаха-Тарского ) — одна из самых захватывающих загадок современной математики.

Вторжение иррационального

Кстати, даже в случае отрезков и прямых линий уже у греков возникли определенные проблемы. Давайте пройдем этот путь вместе с ними. Возьмем квадрат со стороной 1. Нетрудно посчитать, используя теорему Пифагора, что его диагональ будет равна корню из двух. Мы моментально попадаем в неловкую ситуацию: корень из двух (как мы знаем сейчас) — число иррациональное, а это значит, что если вы уменьшите сторону квадрата в целое число раз, то из полученных отрезков не сможете получить его диагональ: будет либо чуть больше, либо чуть меньше. Можно было бы сослаться здесь на неточность вычислений или измерений, но пифагорейцы получили этот результат вовсе не на практике, а из теоретических соображений. Доказательство их выглядело следующим образом:

Для пифагорейцев это была печальная новость — в рамках арифметики им такие числа не встречались, поэтому казалось, что и в целом вычисления с длинами оказывались под угрозой.

Интересно, что позже, в рукописи «Выпрямляющий кривое» (в рамках нашей статьи это предельно интригующее название — чуть позже станет понятно почему) некоего Альфонсо, предположительно, крещеного еврея, жившего в Испании между XIII и XV веками, к несоразмерности длин отношение уже гораздо более доброжелательное:

Платон

Платон, живший в 428348 годах до нашей эры, считается, и, должно быть, справедливо я не специалист одним из величайших философов Греции.

Геометрия ко времени Платона уже была очень развита. Было решено много весьма и весьма сложных задач, доказаны сложнейшие теоремы. Но ясной позиции во взглядах на общую схему построения науки ещё не было. Развитие геометрии, как нередко бывает в науке, стимулировалось задачами, решения которых никак не удавалось отыскать. Требовалось при помощи циркуля и линейки, не привлекая никаких других геометрических инструментов:

  • разделить данный угол на три равных части (трисекция угла);
  • построить квадрат с площадью, равной площади данного круга (квадратура круга);
  • построить куб с объёмом, в два раза большим объёма данного куба (делосская задача).

Только в конце прошлого века было доказано, что в такой постановке ни одна из этих задач не может быть решена, хотя, если использовать другие геометрические инструменты или (что то же) использовать при построении геометрические места точек, отличные от прямой либо дуги окружности, то все три задачи легко решаются.

Однако принятые у греков правила игры не позволяли пользоваться при решении задач ничем, кроме циркуля и линейки. Платон даже обосновал это ссылкой на авторитет богов.

Так что ни одна из проблем решена не была, но по ходу дела геометрия была основательно разработана.

Я с великим сожалением опускаю все анекдоты, связанные с этими задачами. Историй много, и все они прелестны, но нельзя слишком отвлекаться. Вспомню лишь одно из преданий, связанное именно с Платоном и показывающее его с лучшей стороны.

Однажды, рассказывает Эратосфен, на острове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова, естественно, обратились к Дельфийскому оракулу, который повелел удвоить объём золотого кубического жертвенника Аполлону, не изменяя его формы. За советом обратились к Платону. Платон задачи не решил, но зато истолковал оракула в том смысле, что боги гневаются на греков за нескончаемые междоусобные войны и желают, чтобы они, греки, вместо кровавых побоищ занимались бы науками и особенно геометрией. Тогда чума исчезнет.

Платон очень много сделал для развития математики и весьма ценил её. На входе в его академию был даже высечен весьма категорический лозунг: «Да не войдёт сюда тот, кто не знает геометрии». Дело в том, что Платон полагал: «Изучение геометрии приближает к бессмертным богам» и воспитывал в этом духе своих учеников, приплетая математику к месту и не к месту.

По-видимому, Платон первый чётко потребовал: математика вообще и геометрия в частности должны быть построены дедуктивным образом. Иначе говоря, все утверждения (теоремы) должны строго логически выводиться из небольшого числа основных положений аксиом. Такая постановка крупнейший шаг вперёд.

Некоторые из учеников Платона выросли в блестящих геометров. Но надо сказать, что и по своим взглядам, и по методам организации школы, и по любви к саморекламе Платон очень напоминает Пифагора.

На мой взгляд, как философ и как человек, Платон довольно несимпатичен. Во всяком случае, созданная им теория идеального государства, образцом которого послужила реальная и вполне фашистская страна Спарта восторга, мягко говоря, не вызывает. Основные положения его утопии в общем удовлетворяют требованиям нацистов. Всю свою жизнь он яростно боролся против демократии в политической жизни и против материализма в духовной. Философов-материалистов Платон не только абстрактно поносил в своих философских сочинениях, но, демонстрируя неплохую практическую хватку, нередко дискутировал, как сказали бы теперь, «в жанре политического доноса».

Приведу пример. Был в те времена в Греции замечательный философ, один из первых материалистов Анаксагор. (Мы почти ничего не знаем о его геометрических работах; известно, однако, что в темнице, где ему пришлось сидеть за свои взгляды, он исследовал проблему квадратуры круга.)

И вот Платон в одном из сочинений в диалоге жителя Афин (рупор самого Платона) и спартанца так расправляется с Анаксагором.

Афинянин: «Когда мы, стремясь получить доказательства существования богов, ссылаемся на Солнце, Луну, Звёзды и Землю как на божественные существа, то ученики этих новых мудрецов возражают нам, что всё это ведь только земля и камни, и они (т.е. камни) совершенно не в состоянии заботиться о людских делах».

Спартанец молниеносно чует ересь и возмущённо восклицает: «Какой же вред для семьи и государства проистекает от таких настроений у молодёжи!».

Так дискутировал Платон.

Важность

Перед тем была представлена Бельтрами, Клейном и Пуанкаром в модели неевклидовой плоскости, геометрия Евклида стояла неоспоримую как математическая модель в пространстве . Более того, поскольку суть предмета в синтетической геометрии была главным проявлением рациональности, евклидова точка зрения представляла абсолютный авторитет.

Открытие неевклидовой геометрии имело волновой эффект, выходящий далеко за рамки математики и естественных наук. Отношение философа Иммануила Канта к человеческому знанию сыграло особую роль в геометрии. Это был его главный пример синтетического априорного знания; не выведенные из органов чувств и не выведенные с помощью логики — наши знания о космосе были истиной, с которой мы родились. К несчастью для Канта, его концепция этой неизменно истинной геометрии была евклидовой. На богословие также повлиял переход от абсолютной истины к относительной истине в том, как математика соотносится с окружающим миром, что явилось результатом этой смены парадигмы.

Неевклидова геометрия является примером научной революции в истории науки , когда математики и ученые изменили свой взгляд на свои предметы. Некоторые геометры называли Лобачевского « Коперником геометрии» из-за революционного характера его работ.

Существование неевклидовой геометрии во многом повлияло на интеллектуальную жизнь виклидской Англии и, в частности, было одним из ведущих факторов, вызвавших пересмотр преподавания геометрии, основанного на Элементах Евклида . В то время этот вопрос об учебной программе горячо обсуждался и даже стал предметом книги « Евклид и его современные соперники» , написанной Чарльзом Латвиджем Доджсоном (1832–1898), более известным как Льюис Кэрролл , автором « Алисы в стране чудес» .

Исламское влияние

К IX веку, когда арабский мир сильно расширился, большая часть его культуры пронизывала различные области науки и искусства. Они были большими поклонниками математических и философских работ греков.

Одной из наиболее изученных областей в рамках их потребностей была астрономия, чтобы определить точную ориентацию, в которой Мекка могла совершать молитвы.

Следуя исследованиям Евклида и других вкладов, таких как работы Птолемея, мусульмане разработали стереографическую проекцию, то есть проекцию небесной сферы на плоскость, чтобы использовать ее в качестве карты. Это означало прогресс в изучении тригонометрии.

Среди наиболее представительных персонажей — Табит ибн Курра (826 / 36-901), который сделал соответствующие переводы древних текстов Аполлония, Архимеда, Евклида и Птолемея. Некоторые из них — единственные сохранившиеся версии древних Священных Писаний.

Исследования с точки зрения астрономической геометрии также позволили создать один из самых представительных инструментов, астролябию, что упростило астрономические вычисления того времени. Вдобавок этот инструмент также позволил им узнать время и, наконец, получить представление о Мекке.

Постулаты Евклида

Его главная книга «Элементы» (первоначально написанная на древнегреческом языке) стала базовой работой важных математических учений. Она разделена на 13 отдельных книг.

  • Книги от первой до шестой посвящены геометрии плоскости.
  • Книги семь-девять имеют дело с теорией чисел
  • Книга восьмая о геометрической прогрессии
  • Книга десятая посвящена иррациональным числам
  • Книги одиннадцать-тринадцать представляют собой трехмерную геометрию (стереометрию).

Гений Евклида состоял в том, чтобы взять в оборот множество разнообразных элементов математических идей и объединить их в один логический, последовательный формат.

Лемма Евклида, которая утверждает, что фундаментальное свойство простых чисел состоит в том, что если простое число делит произведение двух чисел, оно должно делить по крайней мере одно из этих чисел.

Что такое «евклидова геометрия»?

Свои знания в планиметрии и стереометрии гениальный мыслитель формулировал в виде аксиом и постулатов. Система аксиом касалась четырёх понятий: точки, прямой, плоскости, движения, а также взаимоотношения этих понятий между собой.

Для построения конкретных фигур на плоскости или в пространстве он разработал систему постулатов, предписывающих конкретные действия. Подобная система аксиом и постулатов в современности получила название «евклидова геометрия».

Классификация треугольников по их сторонам

Для классификации треугольников можно использовать их типологию.

Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.

Свойства прямоугольного треугольника

  1. Теорема Пифагора сумма длин квадратов катетов равна квадрату гипотенузы
  2. Свойство медианы: медиана, проведенная из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.

С прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии. Можно измерять углы с помощью отношений, использовать понятия синуса, косинуса. Помним, что угол можно задать двумя числами, их отношением.

Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.

Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.

Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.

От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов

Гость форума
От: admin

Эта тема закрыта для публикации ответов.